+) `∆ABC` đều cạnh `a=>AC=a`
`\hat{BAC}=\hat{ACB}=60°`
Vì $G$ là trọng tâm `∆ABC` đều nên `G` là giao điểm 3 đường phân giác trong `∆ABC`.
`=>\hat{CAG}=1/ 2 \hat{BAC}=30°`
`=>\hat{ACG}=\hat{CAG}=30°`
`=>\hat{AGC}=180°-(\hat{ACG}+\hat{CAG})=120°`
+) Gọi $I$ là trung điểm `BC`
`=>AI` vừa là trung tuyến và đường cao `∆ABC` đều.
`=>` $AI \perp {BC}$
`=>AI=AC.sinACI =a.sin60°=a \sqrt{3}/2`
+) `G` là trọng tâm `∆ABC` đều
`=>GC=GA=2/ 3 AI=2/ 3 .a \sqrt{3}/2=a/{\sqrt{3}}`
+) Ta có:
`\vec{GA}.\vec{GC}=|\vec{GA}|.|\vec{GC}|.cos(\vec{GA};\vec{GC})`
`=GA.GC.cosAGC`
`=a/{\sqrt{3}} . a/{\sqrt{3}}.cos120°={a^2}/3 . {-1}/2={-a^2}/6`
Vậy: `\vec{GA}.\vec{GC}={-a^2}/6`
