a) Xét tứ giác AKMI có
\widehat{IAK}=90^0
IAK
=90
0
(\widehat{BAC}=90^0
BAC
=90
0
, K∈AB, I∈AC)
\widehat{AKM}=90^0
AKM
=90
0
(MK⊥AB)
\widehat{AIM}=90^0
AIM
=90
0
(MI⊥AC)
Do đó: AKMI là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
⇒KI=MA(hai đường chéo của hình chữ nhật AKMI)
b)
Ta có: AKMI là hình chữ nhật(cmt)
nên hai đường chéo AM và KI cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau(Định lí hình chữ nhật)
mà AM cắt KI tại O(gt)
nên O là trung điểm chung của AM và KI
Ta có: ΔAHM vuông tại H(AH⊥BC, M∈BC)
mà HO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM(O là trung điểm của AM)
nên HO=\frac{AM}{2}HO=
2
AM
(Định lí 1 về áp dung hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà AO=MO=\frac{AM}{2}AO=MO=
2
AM
(O là trung điểm của AM)
nên HO=AO=MO
Xét ΔHOM có HO=MO(cmt)
nên ΔHOM cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)
Ta có: AO=MO=\frac{AM}{2}AO=MO=
2
AM
(O là trung điểm của AM)
IO=OK=\frac{IK}{2}IO=OK=
2
IK
(O là trung điểm của IK)
mà AM=IK(cmt)
nên AO=MO=IO=OK
mà HO=AO=MO(cmt)
nên HO=OI=OK
mà IO=OK=\frac{IK}{2}IO=OK=
2
IK
(O là trung điểm của IK)
nên HO=\frac{IK}{2}HO=
2
IK
Xét ΔIHK có
HO là đường trung tuyến ứng với cạnh IK(O là trung điểm của IK)
HO=\frac{IK}{2}HO=
2
IK
(cmt)
Do đó: ΔIHK vuông tại H(Định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
hay \widehat{KHI}=90^0
KHI
=90
0
(đpcm)
