Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$x+y-z=0 ⇔x+y=z$
Thế xuống phương trình dưới:
$x^3+y^3-(x+y)^2=0$
$⇔(x+y)(x^2+y^2-xy)-(x+y)^2=0$
$⇔(x+y)(x^2+y^2-xy-x-y)=0$
$⇔x^2+y^2-xy-x-y=0$ (do $x;y$ nguyên dương nên $x+y>0$)
$⇔x^2-(y+1)x+y^2-y=0$ (1)
Lớp 8 chưa học $Δ$ nên chắc phải dài dòng tiếp thế này:
$⇔x^2-(y+1)x+\dfrac{(y+1)^2}{4}+\dfrac{3y^2-6y-1}{4}=0$
$⇔\left(x-\dfrac{y+1}{2} \right)^2=\dfrac{-3x^2+6y+1}{4}$
Mà $\left(x-\dfrac{y+1}{2} \right)^2 \geq 0 ⇒\dfrac{-3y^2+6y+1}{4} \geq 0$
$⇒-3y^2+6y+1 \geq 0 ⇔4-3(y-1)^2 \geq 0$
$⇔(y-1)^2 \leq \dfrac{4}{3}$
$⇒\left[ \begin{array}{l}(y-1)^2=0\\(y-1)^2=1\end{array} \right.$
$⇒\left[ \begin{array}{l}y=1\\y=0(loại)\\y=2\end{array} \right.$ $⇒\left[ \begin{array}{l}y=1\\y=2\end{array} \right.$
Thay vào (1):
- Với $y=1$
$⇒x^2-2x=0⇒\left[ \begin{array}{l}x=0(loại)\\x=2\end{array} \right.$
$⇒z=x+y=3$
- Với $y=2$
$⇒x^2-3x+2=0⇒\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=2\end{array} \right.$
+ Với $x=1 ⇒z=x+y=3$
+ Với $x=2⇒z=x+y=4$
Vậy pt đã cho có 3 bộ nghiệm nguyên dương thỏa mãn:
$\left[ \begin{array}{l}(x;y;z)=(1;2;3)\\(x;y;z)=(2;1;3)\\(x;y;z)=(2;2;4)\end{array} \right.$
