Ta có : $a+b+c=3abc$
$\to \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca} = 3$
Đặt $\bigg(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}\bigg) = (x,y,z)$ thì $x,y,z>0$
và $xy+yz+zx=3$
Ta có : $(x+y+z)^2 ≥ 3.(xy+yz+zx) = 9$
$\to x+y+z ≥ 3$
Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương có :
$x^7 + 1+1+1+1+1+1 ≥ 7x$
$\to x^7 ≥ 7x-6$
Tương tự có : $y^7 ≥ 7y - 6$, $z^7 ≥ 7z-6$
Do đó $S = x^7+y^7+z^7 ≥ 7.(x+y+z) - 18= 3$
Dấu "=" xảy ra $⇔a=b=c=1$
Vậy Min $S = 3$ khi $a=b=c=1$
