$x^{2}-2x-4\sqrt{x^{2}-2x+2}+2m-1=0$
$⇔x^{2}-2x+2-4\sqrt{x^{2}-2x+2}+2m-3=0$ $(*)$
Đặt $x^{2}-2x+2=t$ $(t≥0)$
$(*)⇔t^{2}-4t+2m-3=0$ $(**)$
Để phương trình có nghiệm thì $Δ=16-4.(2m-3)≥0$
$⇔-8m+28≥0$
$⇔m≤3,5$ $(1)$
Khi đó hai nghiệm của $(**)$ là:
$\left[ \begin{array}{l}t=\dfrac{4+\sqrt{-8m+28}}{2}\\x=\dfrac{4-\sqrt{-8m+28}}{2}\end{array} \right.$
Khi $t=\dfrac{4+\sqrt{-8m+28}}{2}$
$⇔x^{2}-2x+2=\dfrac{4+\sqrt{-8m+28}}{2}$
$⇔x^{2}-2x+2=2+\sqrt{-2m+7}$
$⇔x^{2}-2x-\sqrt{-2m+7}=0$
Vì $a.c≤0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $(2)$
Khi $t=\dfrac{4-\sqrt{-8m+28}}{2}$
$⇔x^{2}-2x+2=\dfrac{4-\sqrt{-8m+28}}{2}$
$⇔x^{2}-2x+2=2-\sqrt{-2m+7}$
$⇔x^{2}-2x+\sqrt{-2m+7}=0$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $Δ'=1-\sqrt{-2m+7}>0$
$⇔\sqrt{-2m+7}<1$
$⇔-2m+7<1$
$⇔m>3$ $(3)$
Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ ta có: với $∀m<3$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
