Ta có:
`(1+x)^{10}.(1+x)^{90}=(1+x)^{100}`
Đặt:
`P(x)=(1+x)^{10}.(1+x)^{90}`
`Q(x)=(1+x)^{100}`
Ta có:
+) `P(x)=(1+x)^{10}.(1+x)^{90}`
$=\sum\limits _ {i=0} ^{10} C_{10} ^i x^i .\sum\limits _ {j=0} ^{90} C_{90} ^j x^j$
+) `Q(x)=(1+x)^{100}` $=\sum\limits _ {k=0} ^{100} C_{100} ^k x^k$
Vì `P(x)=Q(x)` nên hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ ở hai đa thức bằng nhau.
`=>i+j=10` và `\quad k=10`
`=>j=10-i` với `i\in{0;1;...;10}; i\in N`
`=>` $\sum\limits _ {i=0} ^{10} C_{10} ^i .C_{90} ^j=C_{100} ^{10}$ $(j=10-i)$
`=>C_{10} ^0. C_{90} ^{10-0}+C_{10} ^1. C_{90} ^{10-1}+...+C_{10} ^{10}. C_{90} ^{10-10}=C_{100} ^{10}`
`<=>C_{10} ^0. C_{90} ^{10}+C_{10} ^1. C_{90} ^9 +...+C_{10} ^{10}. C_{90} ^0=C_{100} ^{10}` (đpcm)
