Đáp án:

${P_{\max }} = \dfrac{{{U^2}}}{{18}}$

${R_3} = 2\Omega $

Giải thích các bước giải:

 Đặt R3 = x

Điện trở tương đương của đoạn mạch là:

${R_{td}} = {R_1} + \dfrac{{{R_2}.{R_3}}}{{{R_2} + {R_3}}} = 3 + \dfrac{{6x}}{{6 + x}} = \dfrac{{18 + 9x}}{{6 + x}}$

Cường độ dòng điện qua mạch là:
${I_m} = \dfrac{{{U_{AB}}}}{{{R_{td}}}} = \dfrac{{U(6 + x)}}{{18 + 9x}}$

Cường độ dòng điện qua biến trở là:
${I_x} = \dfrac{{{R_2}}}{{{R_3} + {R_2}}}.{I_m} = \dfrac{6}{{6 + x}}.\dfrac{{U\left( {6 + x} \right)}}{{18 + 9x}} = \dfrac{{6U}}{{18 + 9x}}$

Công suất tiêu thụ trên biến trở là:

${P_x} = {I_x}^2.{R_3} = {\left( {\dfrac{{6U}}{{18 + 9x}}} \right)^2}.x = \dfrac{{36{U^2}x}}{{{{\left( {18 + 9x} \right)}^2}}} = \dfrac{{36{U^2}}}{{{{\left( {\dfrac{{18}}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)}^2}}}$

Để công suất đó đạt giá trị cực đại thì: ${\left( {\dfrac{{18}}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)^2}\min $

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm: ${\dfrac{{18}}{{\sqrt x }}}$ và ${9\sqrt x }$ ta có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{18}}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x  \ge 2\sqrt {\dfrac{{18}}{{\sqrt x }}.9\sqrt x }  = 18\sqrt 2 \\
 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{18}}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)^2} \ge {\left( {2\sqrt {\dfrac{{18}}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } } \right)^2} = 648
\end{array}$

Vậy công suất cực đại trên biến trở là:

${P_{\max }} = \dfrac{{36{U^2}}}{{648}} = \dfrac{{{U^2}}}{{18}}$

 Với U là hiệu điện thế của đoạn mạch.

 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
$\dfrac{{18}}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x  \Leftrightarrow 9x = 18 \Rightarrow x = 2\Omega  \Leftrightarrow {R_3} = 2\Omega $