Ta có :
Vì \(S\left(n\right)+n=2016\)
\(\Rightarrow n< 2016\)
\(\Rightarrow n\) lớn nhất chỉ có thể có \(4\) chữ số
\(\Rightarrow S\left(n\right)\le4.9\)
\(\Rightarrow S\left(n\right)\le36\)
\(\Rightarrow n\ge2016-36\)
\(\Rightarrow n\ge1980\)
Mà \(n< 2016\)
\(\Rightarrow1980\le n< 2016\)
Vì \(n\) có \(4\) chữ số
\(\Rightarrow n\) có \(1\) trong \(2\) dạng sau :
\(19ab\) hoặc \(20cd\) \(\left(a,b,c,d\in N;0\le a,b,c,d< 10\right)\)
+) Nếu \(n\) có dạng \(19ab\Rightarrow a\ge8\)
Theo bài ta có :
\(19ab+\left(1+9+a+b\right)=2016\)
\(1900+a.10+b+10+a+b=2016\)
\(a.11+2.b=2016-1900-10\)
\(a.11+2.b=106\) \(\left(1\right)\)
Vì \(2b⋮2;106⋮2\)
\(\Rightarrow a.11⋮2\)
\(\Rightarrow a⋮2\) (do \(2,11\) nguyên tố cùng nhau)
Vì \(a< 10;a\ge8;a⋮2\)
\(\Rightarrow a=8\)
Thay \(a=8\) vào \(\left(1\right)\) ta có :
\(8.11+2.b=106\)
\(88+2b=106\)
\(\Rightarrow2b=18\)
\(\Rightarrow b=9\)
Thử lại : \(1989+\left(1+9+8+9\right)=2016\) (đúng)
+)Nếu \(n\) có dạng \(20cd\Rightarrow a\le1\)
Theo bài ta có :
\(20cd+\left(2+0+c+d\right)=2016\)
\(2000+a.10+b+2+a+b=2016\)
\(a.11+2.b=2016-2000-2\)
\(a.11+2.b=14\) \(\left(2\right)\)
Vì \(14⋮2;2b⋮2\)
\(\Rightarrow a.11⋮2\)
\(\Rightarrow a⋮2\) (do \(11;2\) nguyên tố cùng nhau)
Vì \(a< 10;a\le1;a⋮2\)
\(\Rightarrow a=0\)
Thay \(a=0\) vào \(\left(2\right)\) ta có :
\(0.11+2.b=14\)
\(0+2b=14\)
\(2b=14\)
\(\Rightarrow b=7\)
Thử lại : \(2007+\left(2+0+0+7\right)=2016\) (đúng)
Vậy các số tự nhiên \(n\) thõa mãn đề bài là : \(1989\) và \(2007\)
~ Chúc bn học tốt ~
