Đáp án:
$C.\, S =\dfrac{97\pi a^2}{4}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $M$ là trung điểm $BC$
$\to \begin{cases}AM \perp BC\\MB = MC =\dfrac12BC = a\sqrt2\end{cases}$
Xét $∆AMC$ vuông tại $M$ có:
$\cos\widehat{ACB}=\dfrac{MC}{AC}$
$\to \dfrac13=\dfrac{a\sqrt2}{AC}$
$\to AC = 3a\sqrt2$
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$
$\to OA = OB = OC = R'$
$\to 2R' =\dfrac{AC}{\sin\widehat{ABC}}=\dfrac{AC}{\sin\widehat{ACB}}$
$\to 2R' =\dfrac{3a\sqrt2}{\sqrt{1 - \left(\dfrac13\right)^2}}$
$\to R' =\dfrac{9a}{4}$
Từ $O$ kẻ đường thẳng $d\perp (ABC)$
$\to d$ là trục của hình cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$
Ta có:
$SA\perp (ABC)$
Trong $mp(SAM)$ kẻ đường trung trực của $SA$ tại $N$ cắt $d$ tại $I$
$\to I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$
Khi đó:
$\begin{cases}OI =AN = \dfrac12SA=a\\R = IA = IB = IC = IS\end{cases}$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $∆OIA$ vuông tại $O$ ta được:
$R^2 = IA^2 = OI^2 + OA^2$
$\to R^2 = a^2 + \dfrac{81a^2}{16} =\dfrac{97a^2}{16}$
Do đó:
$S_{\text{mặt cầu}}=4\pi R^2 = 4\pi\cdot \dfrac{97a^2}{16} = \dfrac{97\pi a^2}{4}$
