Bài 1.
`a)` Tính $CD$
Vì $CD\perp {OA}$ tại $H$
`=>H` là trung điểm của $CD$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm của dây cung)
`=>CD=2CH`
`∆CHO` vuông tại $H$ có $OC=15cm;OH=9cm$
`=>CH^2+OH^2=OC^2` (Pytago)
`=>CH^2=OC^2-OH^2=15^2-9^2=144`
`=>CH=12cm`
`CD=2CH=2.12=24cm`
Vậy $CD=24cm$
`b)` CM: $L$ thuộc đường tròn $(O')$ đường kính $EB$.
Vì `A;B,C` cùng thuộc đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ nên $∆ABC$ vuông tại $C$
`=>\hat {ACB}=90°=>AC` $\perp BC$ $(1)$
Vì $E$ và $A$ đối xứng qua $H$ nên $H$ là trung điểm $AE$
Ta lại có: $H$ là trung điểm của $CD$ (câu a); $AE\perp CD$ tại $H$
`=>` Tứ giác $ACED$ là hình thoi (có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
`=>DE` // $AC$ $(2)$
Từ $(1);(2)$ `=>DE` $\perp {BC}$ `=>EL` $\perp {BC}$
`=>∆BEL` vuông tại $L$.
Gọi $O'$ là trung điểm $EB$
`=>O'L=1/ 2 EB=O'E=O'B` (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
`=>L` thuộc đường tròn $(O')$ đường kính $EB$.
`c)` CM: $HL$ là tiếp tuyến của đường tròn `(O')`
+) Xét $∆CDL$ vuông tại $L$ có $HL$ là trung tuyến
`=>HL=1/ 2 CD=DH=>∆DHL` cân tại $H$
`=>\hat{HLD}=\hat{HDL}`
Ta có: `\hat{HDL}=\hat{EBL}` (cùng phụ `\hat{DCB}`)
`=>\hat{HLD}=\hat{EBL}`
+) Ta có: `O'L=1/ 2 EB=O'B ` (câu b)
`=>∆O'BL` cân tại $O'$
`=>\hat{O'LB}=\hat{O'BL}=\hat{EBL}=\hat{HLD}`
Ta có:
`90° =\hat{ELB}=\hat{O'LB}+\hat{O'LE}=\hat{HLD}+\hat{O'LE}=\hat{O'LH}`
`=>\hat{O'LH}=90°`
`=>HL` $\perp{O'L}$
Vì `O'L=1/ 2 EB=O'B` và $HL\perp{O'L}$ tại $L$ nên $HL$ là tiếp tuyến của đường tròn `(L')` đường kính $EB$ (đpcm)
Bài 2.
`a)` Tính $sinOAB;tanAOB$
Theo đề bài:
$OB=R; OA=2R$
+) Vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$
`=>∆OAB` vuông tại $B$
`=>AB^2+OB^2=OA^2` (Pytago)
`=>AB^2=OA^2-OB^2=(2R)^2-R^2=3R^2`
`=>AB=R\sqrt{3}`
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
`\quad sinOAB={OB}/{OA}=R/{2R}=1/ 2`
`\quad tanAOB={AB}/{OB}={R\sqrt{3}}/R=\sqrt{3}`
Vậy: `sinOAB=1/ 2 ;tanAOB=\sqrt{3}`
`b)` CM: $OM$ // $AC$; $ON$ // $AB$
+) Ta có $AB;AC$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B;C$ (gt)
`=>` $AB\perp OB; AC\perp OC$
+) Ta lại có: $ON\perp OB; OM\perp OC$ (gt)
`=>OM` // $AC$; $ON$ // $AB$ (đpcm)
`c)` CM: $AMON$ là hình thoi; $MN$ là tiếp tuyến của $(O)$
+) Xét tứ giác $AMON$ có:
*$OM$ // $AN$ (Vì $OM$ // $AC$)
*$ON$ // $AM$ (Vì $ON$ // $AB$)
`=>` $AMON$ là hình bình hành (tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song) $(1)$
+) $AB;AC$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ cắt nhau tại $A$
`=>AO` là phân giác của `\hat {BAC}` (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
`=>AO` là phân giác của `\hat {MAN}` $(2)$
Từ $(1);(2)$ `=>` $AMON$ là hình thoi (đpcm)
(hình bình hành có 1 đường chéo là phân giác của một góc)
+) $AMON$ là hình thoi
`=>` $OA\perp MN$ tại trung điểm $I$ của $OA;MN$
`=>MN` $\perp OI$ tại $I$
`\quad OA=2R=>OI=1/ 2 OA=R`
`=>I\in (O;R)`
`=>MN` là tiếp tuyến tại $I$ của $(O;R)$ (đpcm)
`d)` Tính diện tích hình thoi $AMON$
(S= Nửa tích hai đường chéo)
Từ câu a ta có:
`tanAOB=\sqrt{3}=>\hat{AOB}=60°`
`=>\hat{IOB}=60°`
$MB;MN$ là 2 tiếp tuyến của $(O)$ cắt nhau tại $M$
`=>OM` là phân giác của `\hat {IOB}`
`=>\hat{IOM}=1/ 2 \hat{IOB}=30°`
`∆OMI` vuông tại $I$ có `OI=R;\hat{IOM}=30°`
`=>IM=OI.tanIOM=R.tan30°=R/ {\sqrt{3}}`
+) `MN=2IM` ($I$ là trung điểm $MN$)
`=>MN={2R}/{\sqrt{3}}`
+) `S_{AMON}=1/ 2 .MN.OA`
`= 1/ 2 .{2R}/{\sqrt{3}}.2R={2R^2}/{\sqrt{3}}={2\sqrt{3}R^2}/3` (đvdt)
Vậy diện tích hình thoi $AMON$ bằng:
`{2\sqrt{3}R^2}/3` (đvdt)
