Câu 1 :
$\ S = 5^{2020} + 5^{2020} + 5^{2018}$
$\ S = 5^{2018} + 5^{2018} . 5^{2} + 5^{2018} . 5^{2}$
$\ S = 5^{2018}(1 + 5^{2} + 5^{2}$
$\ S = 5^{2018} . 51 \vdots 51$ $\ (đpcm)$
Câu 2 :
Ta có :
$\ S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + ... + 2^{2020}$
⇒ $\ 2S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + ... + 2^{2021}$
⇒ $\ 2S - S = (2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + ... + 2^{2021}) - (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + ... + 2^{2020})$
⇒ $\ S = 2^{2021} - 1$
⇒ $\ S = 2^{2020} . 2 - 1 < 2^{2020} . 3$
Vậy $S < P$
Câu 3 :
Vì $a^{2} + 45 > 4$ ⇒ $\ b^{2} > 4$ mà $b$ là số nguyên tố
⇒ $b^{2}$ lẻ
⇒ $b$ lẻ mà $45$ lẻ
⇒ $a^{2}$ chẵn
⇒ $a$ chẵn mà $a$ là số nguyên tố
⇒ $a = 2$
⇒ $a^{2} = 2^{2} = 4$
Thay $a^{2}= 4$ vào biểu thức $a^{2} + 45 = b^{2}$, ta được :
$\ 4 + 45 = b^{2}$
⇒ $\ b^{2} = 49$
⇒ $\ b^{2} = 7^{2}$
⇒ $\ b = 7$ là số nguyên tố (thỏa mãn)
Vậy $a = 2$, $b = 7$
