$\begin{array}{l}\text{Ta có:}\\ \quad a^3 +b^3 + c^3 + 2abc - a^2(b+c) - b^2(c+a) - c^2(a+b)\\ = a^3 + b^3 +c^3+ 2abc - a^2(b+c) - b^2c - b^2a - c^2a - c^2b\\ = a^3 - a^2(b+c) + (b^3 +c^3 - b^2c -c^2b) + (2abc - b^2a - c^2a)\\ = a^2(a - b - c) + (b-c)(b^2 - c^2) -a(b^2 - 2bc + c^2)\\ = a^2(a-b-c) + (b-c)^2(b+c) - a(b-c)^2\\ = a^2(a-b-c) + (b-c)^2(b+c-a)\\ =(a-b-c)[a^2-(b-c)^2]\\ = (a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)\\ \text{Với a, b, c là ba cạnh của một tam giác, ta có:}\\ \quad \begin{cases}a + b > c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}\\ \to \begin{cases}a + b - c >0\\b +c - a >0\\c + a - b >0\end{cases}\\ \to \begin{cases}a + b - c >0\\a - b - c <0\\c + a - b >0\end{cases}\\ \to (a-b-c)(a-b+c)(a+b-c) <0\\ Hay\,\,a^3 +b^3 + c^3 + 2abc - a^2(b+c) - b^2(c+a) - c^2(a+b) <0\\ Do\,\,đó: a^3 +b^3 + c^3 + 2abc < a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) \end{array}$
