Đáp án:
$\left[\begin{array}{l}m = -1 -\dfrac{2\sqrt2}{3}\\m = -1 + \dfrac{2\sqrt2}{3}\end{array}\right.$
Giải thích các bước giải:
$x^2 - x - 2 - m = 0$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
$\to \Delta > 0$
$\to 1 + 4(2+ m) >0$
$\to 4m + 9 >0$
$\to m > - \dfrac94$
Với $x_1;\, x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 +x_2 = 1\\x_1x_2 = -2 -m\end{cases}$
Ta có:
$(x_1^2 - 1)(x_2^2 - 1) = -\dfrac19$
$\to (x_1x_2)^2 - x_1^2 - x_2^2 + 1 = -\dfrac19$
$\to (x_1x_2)^2 - (x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_1 + \dfrac{10}{9} =0$
Ta được:
$(-2 -m)^2 - 1^2 + 2(-2 -m) + \dfrac{10}{9} =0$
$\to m^2 + 4m + 4 - 1 - 4 - 2m + \dfrac{10}{9} =0$
$\to m^2 + 2m +\dfrac{1}{9} =0$
$\to \left[\begin{array}{l}m = -1 -\dfrac{2\sqrt2}{3}\\m = -1 + \dfrac{2\sqrt2}{3}\end{array}\right.\quad (nhận)$
Vậy $\left[\begin{array}{l}m = -1 -\dfrac{2\sqrt2}{3}\\m = -1 + \dfrac{2\sqrt2}{3}\end{array}\right.$
