Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$M,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD$
$\to MQ$ là đường trung bình của tam giác $ABD$
$\to MQ//BD; MQ=\dfrac{1}{2}BD$
Tương tự: $NP$ là đường trung bình của tam giác $CBD$
$\to NP//BD; NP=\dfrac{1}{2}BD$
Như vậy: $MQ//NP; MQ=NP$
$\to MNPQ$ là hình bình hành.
b) Ta có:
+) $MNPQ$ là hình chữ nhật
$ \Leftrightarrow MN \bot MQ$
Mà chứng minh được $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$
$\to MN//AC; MN=\dfrac{1}{2}AC$
Như vậy:
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow MN \bot MQ\\
\Leftrightarrow AC \bot BD\left( {MN//AC;MQ//BD} \right)
\end{array}$
Vậy hình thang $ABCD$ có $AC\bot BD$ thì $MNPQ$ là hình chữ nhật.
+) $MNPQ$ là hình thoi
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow MN = MQ\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}BD\\
\Leftrightarrow AC = BD
\end{array}$
Vậy hình thang $ABCD$ có $AC= BD$ thì $MNPQ$ là hình thoi.
+) $MNPQ$ là hình vuông
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow MN \bot MQ;MN = MQ\\
\Leftrightarrow AC \bot BD;AC = BD
\end{array}$
Vậy hình thang cân $ABCD$ có $AC= BD $ thì $MNPQ$ là hình vuông.
