Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Biến đổi giả thiết:
$x+y+z+2=xyz$
$⇔xy+yz+zx+2x+2y+2z+3=xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1$
$⇔xy+yz+zx+2x+2y+2z+3=(x+1)(y+1)(z+1)$
$⇔x(y+1)+y(z+1)+z(x+1)+(x+1)+(y+1)+(z+1)=(x+1)(y+1)(z+1)$
$⇔(x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x+1)=(x+1)(y+1)(z+1)$
$⇔\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}=1$
$⇔\dfrac{1}{x+1}-1+\dfrac{1}{y+1}-1+\dfrac{1}{z+1}-1=-2$
$⇔2=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}$
Cauchy-Schwarz vế phải:
$⇒2 \geq \dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right)^2}{x+y+z+3}$
$⇔2x+2y+2z+6 \geq \left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right)^2$
$⇔2x+2y+2z+6 \geq x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{zx}$
$⇔x+y+z+6 \geq 2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{zx}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=2$
