a) Xét tứ giác $ABDC$ có:
$BM = MC = \dfrac12BC\quad (gt)$
$AM = MD = \dfrac12AD\quad (gt)$
Do đó $ABDC$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết)
$\to AC = BD$ (hai cạnh đối của hình bình hành)
b) Ta có:
$ABDC$ là hình bình hành (câu a)
Ta lại có:
$\widehat{BAC} = 90^\circ\quad (gt)$
Do đó $ABDC$ là hình chữ nhật
c) Xét $ΔAHM$ và $ΔDEM$ có:
$\widehat{H} = \widehat{E} = 90^\circ$
$AM = MD = \dfrac12AD\quad (gt)$
$\widehat{AMH} = \widehat{DME}$ (đối đỉnh)
Do đó $ΔAHM = ΔDEM$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\to HM = ME$ (hai cạnh tương ứng)
$\to HM = ME = \dfrac12HE$
Xét tứ giác $AHDE$ có:
$HM = HE = \dfrac12HE\quad (cmt)$
$AM = MD = \dfrac12AD\quad (gt)$
Do đó $AHDE$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết)
d) Ta có:
$AHDE$ là hình bình hành (câu c)
$\to \begin{cases}AH = DE\\AH//DE\end{cases}$
Ta lại có:
$AI = IH = \dfrac12AH\quad (gt)$
$DK = KE = \dfrac12DE\quad (gt)$
$\to \begin{cases}AI = DK\\AI//DK\end{cases}$
$\to AIDK$ là hình bình hành
$\to AD;\, IK$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường $(1)$
Bên cạnh đó:
$ABDC$ là hình bình hành (câu a)
$\to AD;\, BC$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường $(2)$
$(1)(2)\to IK;\, BC;\, AD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$\to IK;\, BC;\, AD$ đồng quy
