`a)` Ta có: `ΔABC` vuông cân tại `A` ( gt )
`⇒` $\widehat{ABC}$ `=` $\widehat{ACB}$ `=` `45^o` ( tính chất )
`⇒` `AB=AC` ( tính chất )
Xét `ΔABM` và `ΔACM` có:
`AB=AC` ( cmt )
`AM` chung
`BM=MC` ( `M` là trung điểm )
`⇒ΔABM=ΔACM(c.c.c)`
`⇒` $\widehat{AMB}$ `=` $\widehat{AMC}$ ( góc tương ứng )
Mà $\widehat{AMB}$ `+` $\widehat{AMC}$ `=` `180^o` ( kề bù )
`⇒` $\widehat{AMB}$ `=` `90^o`
`⇒AM⊥BC`
Xét `ΔAMB` vuông tại `M` có:
$\widehat{BAM}$ `+` $\widehat{ABM}$ `=` `90^o` ( định lý )
Mà $\widehat{ABM}$ `=` `45^o` ( cmt )
`⇒` $\widehat{BAM}$ `=` `90^o - 45^o = 45^o`
Mà $\widehat{ACM}$ `=` `45^o` ( cmt )
`⇒` $\widehat{BAM}$ `=` $\widehat{ACM}$
Xét `ΔABH` vuông tại `H` có:
$\widehat{HBA}$ `+` $\widehat{BAH}$ `=` `90^o`
Mà $\widehat{BAH}$ `+` $\widehat{HAC}$ `=` `90^o` (gt)
`⇒` $\widehat{ABH}$ `=` $\widehat{HAC}$
Xét `ΔBHA` và `ΔAIC` có:
$\widehat{H}$ `=` $\widehat{AIC} `=` `90^o` (gt)
`AB=AC` ( cmt )
$\widehat{ABH}$ `=` $\widehat{HAC}$ (cmt)
`⇒ΔBHA =ΔAIC (ch-gn)`
`⇒ BH = AI` (cạnh tương ứng)
`b)`
Ta có: $\widehat{DHM}$ `=` $\widehat{DIM}$ ( Cùng phụ `DM` )
Mà $\widehat{HMI}$ `=` $\widehat{HMB}$ `+` $\widehat{BMI}$ `=` $\widehat{AMI}$ `+` $\widehat{BMI}$ `=` $\widehat{AMB}$ `=` `90^o`
`⇒ΔMHI` vuông cân
