Đáp án:
$\tan\widehat{((A'BD);(A'D'CB))}=\dfrac{\sqrt2}{2}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$A'B;\, A'D;\, BD$ lần lượt là đường chéo của các hình vuông $AA'B'B;\, AA'D'D;\, ABCD$
$\to A'B = A'D = BD = a\sqrt2$
$\to ∆A'BD$ đều
Gọi $M$ là trung điểm $A'B$
$\to \begin{cases}DM\perp A'B\\DM =\dfrac{BD\sqrt3}{2}=\dfrac{a\sqrt6}{2}\end{cases}$
Gọi $N$ là trung điểm $CD'$
$\to N$ là tâm của hình vuông $CC'D'D$
$\to NC = ND = NC' = ND' = \dfrac{a\sqrt2}{2}$
$\to MN//BC//A'D'$ (đường trung bình)
$\to MN = BC = a$
mà $CB\perp A'B$ ($A'D'CB$ là hình vuông)
nên $MN\perp A'B$
Ta có:
$\begin{cases}(A'BD)\cap (A'D'CB)=A'B\\BM\perp A'B\\BM\subset (A'BD)\\MN\perp A'B\quad (cmt)\\MN\subset (A'D'CB)\end{cases}$
$\to \widehat{((A'BD);(A'D'CB))}=\widehat{DMN}$
Mặt khác:
$DM^2 =\left(\dfrac{a\sqrt6}{2}\right)^2 = \dfrac{3a^2}{2}$
$MN^2 = a^2$
$ND^2 =\left(\dfrac{a\sqrt2}{2}\right)^2 =\dfrac{a^2}{2}$
Nhận thấy: $DM^2 = MN^2 + ND^2$
$\to ∆DMN$ vuông tại $N$ (theo định lý Pytago đảo)
$\to \tan\widehat{DMN}=\dfrac{ND}{MN}$
$\to \tan\widehat{DMN}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt2}{2}}{a}=\dfrac{\sqrt2}{2}$
Vậy $\tan\widehat{((A'BD);(A'D'CB))}=\dfrac{\sqrt2}{2}$
