Đáp án:
Không thể phản biện được đẳng thức vì nó chính xác :v
Giải thích các bước giải:
Giả sử tồn tại bộ số nguyên dương $x;y;z$ thỏa mãn đẳng thức
Từ điều kiện xác định của đẳng thức, ta có: $x-y+1 \geq 0$
Chia làm 3 trường hợp: $x>y$; $x=y$; $x=y-1$
TH1: $x>y$:
$⇒-23(x-y)<0⇒16x^2y^2-23(x-y)<16x^2y^2$ (1)
Mặt khác do $x;y>2⇒x;y \geq 3$
$⇒(x+3)(y-3) \geq 0 ⇒xy-3x+3y-9 \geq 0$
$⇒-3x+3y \geq -xy+9$
$⇒ -23x+23y \geq -\dfrac{23}{3}xy+69>-8xy+69>-8xy+1$
$⇒16x^2y^2-23x+23y>16x^2y^2-8xy+1=(4xy-1)^2$ (2)
Từ (1); (2)
$⇒(4xy-1)^2<(z+4)^2<(4xy)^2$
$⇒(z+4)^2$ nằm giữa 2 SCP liên tiếp nên ko thể là SCP
$⇒$ ko tồn tại $z$ nguyên thỏa mãn điều kiện đề bài hay ko tồn tại $x;y;z$
TH2: $x=y-1⇒-23x+23y=23$
Thế vào điều kiện: $16x^2y^2+23=(z+4)^2$
$⇒(z+4)^2-(4xy)^2=23⇔(z+4-4xy)(z+4+4xy)=23$
Do $23>0$; $z+4+4xy>0⇒z+4-4xy>0$
Đồng thời $z+4+4xy>z+4-4xy$
$⇒\begin{cases}z+4-4xy=1\\z+4+4xy=23 \end{cases}$
$⇒2z+8=24⇒z=8⇒4xy=11$ (không tồn tại $x;y$ thỏa mãn do vế trái chẵn, vế phải lẻ)
TH3: $x=y$ thế vào điều kiện:
$⇒16x^2y^2=(z+4)^2⇒4xy=z+4⇒8xy=2z+8$
$⇒8(xy-1)=2z$
Thế vào đẳng thức:
$⇔\sqrt{z^2+2z+1}=z+1$
$⇔z+1=z+1$ (luôn đúng)
Vậy với mọi bộ số nguyên dương có dạng:
$(x;y;z)=(k;k;4k^2-4)$ với $k >2$; $k \in Z$ thì đẳng thức đã cho đều thỏa mãn.
Đề bài tiếp tục sai :v
