Đáp án:
$m=\pm \dfrac{\sqrt2}{2}$
Giải thích các bước giải:
$x^2 - (2m+1)x + m - 3 = 0\qquad (1)$
a) $(1)$ có: $\Delta = (2m+1)^2 - 4(m-3) = 4m^2 +13$
Do $m^2 \geq 0\quad \forall m$
$\to 4m^2 \geq 0$
$\to 4m^2 +13\geq 13 > 0$
$\to \Delta > 0\quad \forall m$
Do đó $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2m+1\\x_1x_2 = m -3\end{cases}$
Do $x_1$ là nghiệm của $(1)$, ta được:
$x_1^2 - (2m+1)x_1 + m - 3 = 0$
$\to x_1^2 - x_1 = 2mx_1 + 3 - m$
Ta có:
$x_1^2 - x_1 + 2mx_2 - x_1x_2 = 8$
$\to 2mx_1 + 3 - m + 2mx_2 - x_1x_2 = 8$
$\to 2m(x_1 + x_2) - x_1x_2 - m - 5=0$
$\to 2m(2m+1) - (m-3) - m - 5 = 0$
$\to 2m^2 - 1 = 0$
$\to m=\pm \dfrac{\sqrt2}{2}$