a.
+ Vì $AD // BJ$. Áp dụng định lý Ta lét vào $∆ADI$, ta được:
$\frac{AI}{IJ} = \frac{ID}{IB}$ $(1)$
+ Lại có $DK // AB$. Áp dụng định lý Ta lét ào $∆IDK$, ta được:
$\frac{ID}{IB} = \frac{IK}{IA}$ $(2)$
+ Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra: $\frac{IA}{IJ}$ $\frac{IK}{IA} (=\frac{ID}{IB})$
⇒ $IA^{2} = IJ . IK$.
b.
+ Ta có: $\frac{IJ}{IA} = \frac{IB}{ID}$
⇒ $\frac{IJ}{IA} + 1 = \frac{IB}{ID} + 1$
⇒ $\frac{IJ + IA}{IA} = \frac{IB + ID}{ID}$
⇒ $\frac{IA}{IA} = \frac{BD}{ID}$
⇒ $\frac{IA}{IJ} = \frac{ID}{BD}$ $(3)$
+ Lại có: $\frac{IK}{IA} = \frac{ID}{IB}$
⇒ $\frac{IK}{IA} + 1 = \frac{ID}{IB} + 1$
⇒ $\frac{IK + IA}{IA} = \frac{ID + IB}{IB}$
⇒ $\frac{AK}{IA} = \frac{ID}{IB}$
⇒ $\frac{IA}{IK} = \frac{BI}{BD}$ $(4)$
+ Cộng hai vế $(3)$ và $(4)$, suy ra: $\frac{AI}{AJ} + \frac{AI}{AK} = \frac{ID}{BD} + \frac{BI}{BD} = \frac{BD}{BD} = 1$
⇒ $\frac{1}{AJ} + \frac{1}{AK} = \frac{1}{AI}$.
c.
+ $\frac{AB}{DK} = \frac{IB}{ID}$
+ $\frac{BJ}{AD} = \frac{BI}{ID}$
⇒ $\frac{AB}{DK} = \frac{BJ}{AD}$
⇒ $AB . AD = BJ . DK$
⇒ $BJ . DK$ không đổi vì $AB . AD$ không đổi.
d.
+ Gọi $d$ cắt $BC$ tại $M$ và $AB$ tại $N$.
+ $\frac{DB}{DH} = 1 + \frac{BN}{DN}$
⇒
