`a)` Ta có: $O'A=O'N=r$
`=>∆O'AN` cân tại $O'$
`=>\hat{O'AN}=\hat{O'NA}`
$\quad OA=OM=R$
`=>∆OAM` cân tại $O$
`=>\hat{OAM}=\hat{OMA}`
Mà `\hat{O'AN}=\hat{OAM}` (đối đỉnh)
`=>\hat{O'NA}=\hat{OMA}`
`=>∆O'AN∽∆OAM`$(g-g)$
`=>{AN}/{AM}={AO'}/{AO}`
`=>{AN}/{AM}+1={AO'}/{AO}+1`
`<=>{AN+AM}/{AM}={AO'+AO}/{AO}`
`<=>{MN}/{AM}={OO'}/{AO}`
$\\$
`b)` Ta có: $∆MNE∽∆MAB$
`=>{S_{MNE}}/{S_{MAB}}=({NE}/{AB})^2=({R+r}/R)^2`
`=>S_{MNE}=({R+r}/R)^2 S_{MAB}` $\ (1)$
Xét $∆OAB$ có $OA=OB=AB=R$
`=>∆OAB` đều
`=>\hat{OAB}=60°=\hat{OAH}`
`\qquad ∆OAH` vuông tại $H$
`=>sinOAH={OH}/{OA}`
`=>OH=OA.sinOAH=R. sin60°={R\sqrt{3}}/2`
`M_0 H=OM_0 +OH=R+{R\sqrt{3}}/2={R(2+\sqrt{3})}/2`
`S_{MABmax}=S_{M_0 AB}=1/ 2 AB .M_0 H`
`=1/ 2 . R. {R(2+\sqrt{3})}/2={R^2(2+\sqrt{3})}/4`
Từ `(1)=>S_{MNEmax}=({R+r}/R)^2 S_{MABmax}`
`={(R+r)^2}/{R^2} . {R^2 (2+\sqrt{3})}/4`
`={2+\sqrt{3}}/4 (R+r)^2`
Vậy diện tích $∆MNE$ có $GTLN$ bằng `{2+\sqrt{3}}/4 (R+r)^2`
