Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$

Ta có: `MP`$\perp BC;MQ\perp AC$

`=>\hat{MPC}=\hat{MQC}=90°`

Tứ giác $MPQC$ có $2$ đỉnh $P;Q$ cùng nhìn cạnh $MC$ dưới góc vuông

`=>MPQC` là tứ giác nội tiếp

`=>\hat{CPQ}=\hat{CMQ}` $(1)$

(góc nội tiếp cùng chắn cung $CQ)$

Ta có: `MN`$\perp AB;MP\perp BC$

`=>\hat{MNB}=\hat{MPB}=90°`

`=>\hat{MNB}+\hat{MPB}=180°`

`=>MNBP` là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng $2$ góc đối bằng $180°$)

`=>\hat{BPN}=\hat{BMN}` $(2)$

(góc nội tiếp cùng chắn cung $BN)$

$ABMC$ nội tiếp $(O)$

`=>\hat{MBN}=\hat{MCA}`

(góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong đỉnh đối với đỉnh đó)

`=>\hat{MBN}=\hat{MCQ}`

`=>90°-\hat{MBN}=90°-\hat{MCQ}`

`=>\hat{BMN}=\hat{CMQ}` $(3)$

Từ `(1);(3)=>\hat{CPQ}=\hat{BMN}` $(4)$

Từ `(2);(4)=>\hat{BPN}=\hat{CPQ}`

Ta có: `\hat{CPQ}+\hat{BPQ}=180°` (hai góc kề bù)

`<=>\hat{BPN}+\hat{BPQ}=180°`

`=>N;P;Q` thẳng hàng $(đpcm)$

Đáp án:

$\bullet \,\,\,\,\,$Xét tứ giác $NBPM$, ta có:

$\widehat{BNM}+\widehat{BPM}={{90}^{{}^\circ }}+{{90}^{{}^\circ }}={{180}^{{}^\circ }}$

Nên tứ giác $NBPM$ là tứ giác nội tiếp

$\to \widehat{BPN}=\widehat{BMN}$ ( cùng chắn $\overset\frown{BN}$ )   $\left( 1 \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,$Xét tứ giác $MPQC$, ta có:

$\widehat{MQC}=\widehat{MPC}=90{}^\circ$

Nên tứ giác $MPQC$ là tứ giác nội tiếp

$\to \widehat{CPQ}=\widehat{CMQ}$ ( cùng chắn $\overset\frown{CQ}$ )   $\left( 2 \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,$Tứ giác $ABMC$ nội tiếp

$\to \widehat{NBM}=\widehat{QCM}$

$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta NBM$ và $\Delta QCM$, ta có:

$\widehat{NBM}=\widehat{QCM}$ ( cmt )

$\widehat{BNM}=\widehat{CQM}={{90}^{{}^\circ }}$

Nên $\Delta NBM\sim\Delta QCM$

$\to \widehat{BMN}=\widehat{CMQ}$ ( hai góc tương ứng )   $\left( 3 \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,$Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$, ta có như sau:

$\begin{cases}\widehat{BPN}=\widehat{BMN}\\\widehat{CPQ}=\widehat{CMQ}\\\widehat{BMN}=\widehat{CMQ}\end{cases}\to\widehat{BPN}=\widehat{CPQ}$

Mà $\widehat{BPN}+\widehat{NPC}={{180}^{{}^\circ }}$ ( hai góc kề bù )

Nên $\widehat{CPQ}+\widehat{NPC}={{180}^{{}^\circ }}$

Hay nói cách khác $3$ điểm $N,P,Q$ thẳng hàng.

$\bullet \,\,\,\,\,$Đây là bài toán về đường thẳng Simson.