Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
x + \sqrt {{x^2} + 1}  = 2y + 1\left( 1 \right)\\
y + \sqrt {{y^2} + 1}  = 2x + 1\left( 2 \right)
\end{array} \right.$

+) Lấy vế với vế của $(1)$ trừ đi $(2)$ ta có:

$\begin{array}{l}
\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = \left( {2y + 1} \right) - \left( {2x + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 3x - 3y + \left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 0\\
 \Leftrightarrow 3\left( {x - y} \right) + \dfrac{{{x^2} + 1 - {y^2} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{y^2} + 1} }} = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {3 + \dfrac{{x + y}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{y^2} + 1} }}} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - y = 0\\
3 + \dfrac{{x + y}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{y^2} + 1} }} = 0\left( 3 \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

+) Lấy vế với vế của $(1)$ cộng của $(2)$ ta có:

$\begin{array}{l}
x + y + \sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{y^2} + 1}  = 2x + 2y + 2\\
 \Leftrightarrow x + y = \sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{y^2} + 1}  - 2\left( 4 \right)
\end{array}$

Mà ta có: $\sqrt {{x^2} + 1}  \ge 1;\sqrt {{y^2} + 1}  \ge 1,\forall x,y$

$ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{y^2} + 1}  - 2 \ge 0$

Nên từ $\left( 4 \right) \Rightarrow x + y \ge 0$

$ \Rightarrow 3 + \dfrac{{x + y}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{y^2} + 1} }} \ge 3 > 0$

$ \Rightarrow \left( 3 \right)$ vô nghiệm

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow x - y = 0\\
 \Rightarrow x = y
\end{array}$

Thay $x=y$ vào phương trình $(1)$ ta có:

$\begin{array}{l}
y + \sqrt {{y^2} + 1}  = 2y + 1\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{y^2} + 1}  = y + 1\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y + 1 \ge 0\\
{y^2} + 1 = {\left( {y + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y \ge  - 1\\
y = 0\left( {tm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

$ \Rightarrow x = y = 0$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right)$