`b)` Theo hệ quả của Cauchy ta có
` x^4 + y^4 \ge ((x^2+y^2)^2)/2 = ([(x+y)^2 -2xy]^2)/2 `
` = ((4 -2xy)^2)/2` ( do ` x + y =2` )
Mặt khác, theo Cauchy : ` xy \le ((x+y)^2)/4 = (2^2)/4 = 1`
` => 4 -2xy \ge 2`
` => x^4 + y^4 \ge (2^2)/2 = 2` (Đpcm)
`c)`
WLOG ` x \ge y`
Vì ` x +y = 2 => x = 2 - y => x - 1 = 1 - y`
BĐT tương đương
` x^3(x-1) + y^3(y-1) \ge 0`
` => x^3(x-1) - y^3(x-1) \ge 0`
` => (x-y)(x^2 +xy+ y^2)(x-1) \ge 0`
Vì ` x \ge y => x \ge 1`
` => (x-y)(x^2 +xy+ y^2)(x-1) \ge 0` ( đpcm )
