Đáp án:
$50$ $(cm^2)$
Giải thích các bước giải:
Kẻ $AH \perp BC$. Khi đó tam giác $ABH$ vuông tại $H$ và $\widehat{AHB} = 90^{\circ}$.
Ta chứng minh nhận xét sau đây:
"Trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc $30^{\circ}$ bằng một nửa cạnh huyền."
Xét tam giác $MNP$ vuông tại $M$, có $\widehat{MNP}= 30^{\circ}$.
Kẻ đường trung tuyến $MS$. Khi đó ta có $MS = SP= SN = \dfrac{1}{2} NP$.
Suy ra $\triangle MSP$ cân tại $S$.
Khi đó, do $\widehat{MNP}$ và $\widehat{MPN}$ phụ nhau nên
$\widehat{MPN} = 90^{\circ} - \widehat{MNP} = 60^{\circ}$.
Lại có $\triangle MSP$ cân tại $S$ nên $\triangle MSP$ đều. Suy ra
$MP = SP = \dfrac{1}{2} NP$.
Quay lại với bài toán đã cho
Gọi $AC \cap BD = K$.
Có $\triangle ABH$ vuông tại $H$, $\widehat{ABH} = 30^{\circ}$. Vậy
$AH = \dfrac{1}{2} AB = 5$(cm)
Áp dụng Định lý Pythagore trong tam giác $ABH$ ta có
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = 5\sqrt{3}$
Từ đó suy ra
$CH = BC - BH = 10 - 5\sqrt{3}$
Áp dụng Định lý Pythagore trong tam giác $AHC$ ta có
$AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{200 - 100\sqrt{3}}$
Từ đó suy ra
$AK = \dfrac{1}{2} AC = \sqrt{50 - 25 \sqrt{3}}$.
Áp dụng Định lý Pythagore trong tam giác $ABK$ ta có
$BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{50 + 25\sqrt{3}}$
Vậy ta có $BD = \sqrt{200 + 100\sqrt{3}}$
Từ đó suy ra
$S_{ABCD} = \dfrac{AC.BD}{2} = \dfrac{\sqrt{(200 - 100\sqrt{3})(200 + 100 \sqrt{3})}}{2} = 50$ $(cm^2)$
