Đáp án + Giải thích các bước giải:
a, Vì `ΔABC` cân tại `A` `-> \hat{ABC} = \hat{ACB}` và `AB = AC`
Vì `BM` // `AC` `-> \hat{ACB} = \hat{MBC}` (so le trong)
Do đó, `\hat{ABC} = \hat{MBC}`
Gọi `G` là giao của `AM` và `BC`
Xét `ΔABG` và `ΔMBG`, ta có:
`AB = BM` (do `AB = AC` và `AC = BM`)
`\hat{ABC} = \hat{MBC}` (cmt)
chung `BG`
`-> ΔABG = ΔMBG` `(c . g . c)`
`-> \hat{AGB} = \hat{MGB}` (2 góc tương ứng)
`-> \hat{MGB} = 90^0`
`-> AM ⊥ BC` (đpcm)
b, Vì `ΔABG = ΔMBG` (câu `a`) `-> AG = MG` (2 cạnh tương ứng)
Xét `ΔABG` và `ΔACG`, ta có:
`AB = AC`
`\hat{ABC} = \hat{ACG}`
`\hat{AGB} = \hat{AGC} = 90^0`
`-> ΔABG = ΔACG` (ch - gn)
`-> BG = CG` (2 cạnh tương ứng)
(Hoặc bạn xem đoạn chứng minh trên là 1 định lý không cần chứng minh cũng được).
Xét `ΔAGB` và `ΔMGC`, ta có:
`AG = MG` (cmt)
`\hat{AGB} = =\hat{MGC}` (đối đỉnh)
`BG = CG` (cmt)
`-> ΔAGB = ΔMGC` `(c.g.c)`
`-> AB = MC` (2 cạnh tương ứng)
Mà `AB = BM` (câu `a`)
`-> MC = BM`
`-> ΔMBC` cân tại `M` (đpcm)
c, Ta có: `BG = GC = (BC)/2 = 8/2 = 4` `cm`
Vì `ΔBGM` vuông tại `G` nên áp dụng định lí Pi-ta-go ta có: `BM^2 = BG^2 + GM^2`
`-> 10^2 = 4^2 + GM^2`
`-> 100 = 16 + GM^2`
`-> GM^2 = 84`
`-> GM = 2\sqrt{21}` (1)
Vì `ΔAGB` vuông tại `G` nên áp dụng định lí Pi-ta-go ta có: `AB^2 = BG^2 + AG^2`
`-> 10^2 = 4^2 + AG^2`
`-> 100 = 16 + AG^2`
`-> AG^2 = 84`
`-> AG = 2\sqrt{21}` (2)
Từ (1), (2) `-> AM = AG + GM = 2\sqrt{21} + 2\sqrt{21} = 4\sqrt{21}` `(cm)`
Vậy `AM = 4\sqrt{21}cm`
