`a)` Vì $K$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AB$
`=>\stackrel\frown{AK}=\stackrel\frown{BK}`
`=>AK=BK` (liên hệ giữa dây và cung)
Mà $OA=OB=R$
`=>OK` là trung trực của $AB$
Vì $I$ thuộc tia $OK$`=>OI` là trung trực của $AB$
`=>IA=IB`
`\qquad OI`$\perp AB$ (đpcm)
$IA$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$
`=>\hat{IAO}=90°`
Xét $∆IBO$ và $∆IAO$ có:
`OI` chung
`IB=IA`
`OB=OA=R`
`=>∆IBO=∆IAO(c-c-c)`
`=>\hat{IBO}=\hat{IAO}=90°`
`=>IB`$\perp OB$
Vì $B\in (O)$ và $IB\perp OB$
`=>IB` là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$ (đpcm)
$\\$
`b)` $A\in (O)$ đường kính $BD$
`=>∆ADB` vuông tại $A$
`=>DA`$\perp AB$
Mà $OI\perp AB$ (câu a)
`=>DA`//$OI$ (đpcm)
$\\$
`c)` Sửa đề thành $OI=R\sqrt{3}$ nhé (vì ko thấy $M$ đâu)
Gọi $E$ là trung điểm $AB$
`=>OE`$\perp AB$ tại $E$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)
$∆IAO$ vuông tại $A$ có đường cao $AE$
`=>OA^2=OE.OI` (hệ thức lượng ∆ vuông)
`=>OE={OA^2}/{OI}={R^2}/{R\sqrt{3}}=R/{\sqrt{3}}`
Ta có: `AE^2+OE^2=OA^2` (Pytago)
`=>AE^2=OA^2-OE^2=R^2-{R^2}/3={2R^2}/3`
`=>AE=R \sqrt{2/3}={R\sqrt{6}}/3`
`\qquad AB=2AE={2R\sqrt{6}}/3` ($E$ là trung điểm $AB$)
`\qquad S_{OAIB}=2S_{IAO}=2. 1/ 2 AE.OI`
`={R\sqrt{6}}/3 . R\sqrt{3}=R^2 \sqrt{2}`
Ta có:
`cosAOI={OA}/{OI}={R}/{R\sqrt{3}}=1/{\sqrt{3}}`
`=>\hat{AOI}≈54°44'`
`\hat{AOI}=sđ\stackrel\frown{AK}_{nhỏ}` (góc ở tâm chắn cung $AK$)
`=>sđ\stackrel\frown{AK}_{nhỏ}≈54°44'`
Mà $K$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AB$
`=>sđ\stackrel\frown{AB}_{nhỏ}=2 sđ\stackrel\frown{AK}_{nhỏ}≈109°28'`
`\qquad sđ\stackrel\frown{AB}_{lớn}=360°-sđ\stackrel\frown{AB}_{nhỏ}≈250°32'`
Vậy:
+) `AB={2R\sqrt{6}}/3` (đvđd)
+) `S_{OAIB}=R^2 \sqrt{2}` (đvdt)
+) `sđ\stackrel\frown{AB}_{nhỏ}≈109°28'`
`\quad sđ\stackrel\frown{AB}_{lớn}≈250°32'`
