a) Ta có ΔABC cân tại A
=> AB = AC ( 1 )
=> `\hat{ABC}` = `\hat{ACB}`
Mà AM = AN ( gt ) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => MB = NC
Xét ΔBMC và ΔCNB có :
MB = NC ( cmt )
`\hat{ABC}` = `\hat{ACB}` ( cmt )
BC chung
=> ΔBMC = ΔCNB ( c.g.c )
b) Ta có ΔBMC = ΔCNB ( cm ý a )
=> BN = CM ( 2 cạnh tương ứng )
c) Xét ΔAMN có AM = AN
=> ΔAMN cân tại A
=> `\hat{AMN}` = `\hat{ANM}`
Ta có :
`\hat{AMN}` + `\hat{NMB}` = $180^{o}$ ( kề bù )
`\hat{ANM}` + `\hat{MNC}` = $180^{o}$ ( kề bù )
Mà `\hat{AMN}` = `\hat{ANM}` ( cmt )
=> `\hat{NMB}` = `\hat{MNC}`
Xét ΔBMN và ΔCNM , có :
`\hat{NMB}` = `\hat{MNC}`
MN chung
MB = NC ( cmt )
=> ΔBMN = ΔCNM ( c.g.c )
Gọi MC ∩ BN = { P }
Ta có `\hat{MNP}` = `\hat{NMP}` ( ΔBMN = ΔCNM )
=> ΔMPN cân tại P
=> `\hat{MNP}` = `\hat{NMP}` = $\frac{180^0 - \hat{MPN}}{2}$ ( 3 )
Ta có `\hat{ABC}` = `\hat{ACB}` ( cm ý a )
Mà `\hat{MBN}` = `\hat{NCM}` ( ΔMBN = ΔNCM )
=> `\hat{PBC}` = `\hat{PCB}`
Chứng minh tương tự
=> `\hat{PBC}` = `\hat{PCB}` = $\frac{180^0-\hat{BPC}}{2}$ ( 4 )
Từ ( 3 ) và ( 4 ) => `\hat{NMP}` = `\hat{PCB}`
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> MN || BC ( đccm ) .
