Bài 1:
a, Xét `ΔAKM` và `ΔBNM`, ta có:
`AM = BN`
`\hat{KAM} = \hat{MBN}`
`\hat{AMK} = \hat{BMN}`
`⇒ ΔAKM = ΔBNM`
`⇒ KM = MN` (2 cạnh tương ứng)
Xét `ΔCKM` và `ΔCNM`, ta có:
`KM = MN`
`\hat{CMK} = \hat{CMN}`
`CM` là cạnh chung
`⇒ ΔCKM = ΔCNM`
`⇒ \hat{CKM} = \hat{CNM}` (2 góc tương ứng)
Áp dụng bài toán phụ vào `ΔCKM` vuông tại `M` có `E` là trung điểm của `CK`
`⇒ EM = 1/2 KC = EK = EC`
`⇒ ΔEKM` cân tại `E`
`⇒ \hat{EKM} = \hat{KME}` (tính chất)
Mà `\hat{EKM} = \hat{CNM}`
`⇒ \hat{KME} = \hat{CNM}`
Mặt khác, 2 góc này đồng vị `⇒ EM` // `BC` (đpcm)
b, Vì `AN ⊥ AB` và `BN ⊥ AB` `⇒ AK` // `BN` `⇒ \hat{AKN} = \hat{BNM}` (so le trong)
Mà `\hat{BNM} = \hat{CKM}` `⇒ \hat{AKN} = \hat{CKM}`
`ΔAKM = ΔHKM` (ch - gn) `⇒ AM = HM` (2 cạnh tương ứng)
`⇒ ΔAMH` cân tại `M`
`⇒ \hat{HAM} = \hat{AHM}` (1)
Vì `AM = MH` và `AM = BM` `⇒ MH = BM`
`⇒ ΔBHM` cân tại `M`
`⇒ \hat{MHB} = \hat{MBH}` (2)
(1), (2) `⇒ \hat{AHM} + \hat{MHB} = \hat{HAM} + \hat{MBH}`
Mặt khác, tổng 3 góc trong `ΔAHB` là `180^0`
`⇒ hat{AHM} + \hat{MHB} + \hat{HAM} + \hat{MBH} = 180^0`
`⇒ hat{AHM} + \hat{MHB} = \hat{HAM} + \hat{MBH} = 90^0`
`⇒ \hat{AHB} = 90^0`
`⇒ ΔAHB` vuông tại `H` (đpcm)
Bài 2:
`a, |2x - 1| - 3x = -2`
`⇔ |2x - 1| = 3x - 2`
`⇔ 2x - 1 = 3x - 2` hoặc `2x - 1 = 2 - 3x`
`⇔ 2x - 3x = -2 + 1` hoặc `2x + 3x = 2 + 1`
`⇔ -x = -1` hoặc `5x = 3`
`⇔ x = 1` hoặc `x = 3/5`
`b, |x - 2| - |3 - x| = |x - 2| - |x - 3| ≤ |x - 2 - x + 3| = 1`
Dấu "=" xảy ra `⇔ (3 - x)(x - 2 - 3 + x) ≥ 0`
`⇔ (3 - x)(2x - 5) ≥ 0`
Từ đây ta lập bảng xét dấu như hình vẽ.
`⇔ 5/2 ≤ x ≤ 3`
Mà `x ∈ ZZ` `⇒ x = 3`
Vậy `x = 3`
`c, (x^2 - 2)(10 - x^2) > 0`
`⇔ (x^2 - 2)(x^2 - 10) < 0`
`⇔ x^2 - 2` và `x^2 - 10` trái dấu
Mà `x^2 - 2 > x^2 - 10`
`⇔ x^2 - 2 > 0` và `x^2 - 10 < 0`
`⇔ x^2 > 2` và `x^2 < 10`
Mà `x ∈ ZZ` hay `x^2 ∈ ZZ` `⇔ x^2 ∈ { 4 ; 9 }`
`⇔ x ∈ { ±2 ; ±3 }`
Vậy `x ∈ { ±2 ; ±3 }`
`d, 3x - 2y + xy = 2`
`⇔ 3x - 6 - y(2 - x) = -4`
`⇔ 3(x - 2) - y(2 - x) = -4`
`⇔ -3(2 - x) - y(2 - x) = -4`
`⇔ (2 - x)(-3 - y) = -4`
Mà `x, y ∈ ZZ` `⇒ 2 - x ; -3 - y ∈ Ư (-4) = { ±1 ; ±2 ; ±4 }`
Ta có bảng: (hình vẽ 2)
Vậy ...
