Đáp án:
a. $P = (\dfrac{1}{\sqrt{a} + 2} + \dfrac{1}{\sqrt{a} - 2}).\dfrac{\sqrt{a} - 2}{\sqrt{a}}$
$P = \dfrac{\sqrt{a} - 2 + \sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)}.\dfrac{\sqrt{a} - 2}{\sqrt{a}}$
$P = \dfrac{2\sqrt{a}}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)}.\dfrac{\sqrt{a} - 2}{\sqrt{a}}$
$P = \dfrac{2}{\sqrt{a} + 2}$
b. $P > \dfrac{1}{3} \to \dfrac{2}{\sqrt{a} + 2} > \dfrac{1}{3}$
$\to \dfrac{2}{\sqrt{a} + 2} - \dfrac{1}{3} > 0$
$\to \dfrac{6 - (\sqrt{a} + 2)}{3(\sqrt{a} + 2} > 0$
$\to \dfrac{- \sqrt{a} + 4}{3(\sqrt{a} + 2)} > 0$
Vì: $\sqrt{a} > 0$ với mọi $a > 0$ $a \neq 4$
Suy ra: $3(\sqrt{a} + 2) > 0$
Do đó:
$\dfrac{- \sqrt{a} + 4}{3(\sqrt{a} + 2)} > 0 \to - \sqrt{a} + 4 > 0$
$\to - \sqrt{a} > - 4 \to a < 16$
Vậy với $0 < a < 16$ và $a \neq 4$ thì $P > \dfrac{1}{3}$
c. $Q = \dfrac{9}{2}.P = \dfrac{9}{2}.\dfrac{2}{\sqrt{a} + 2} = \dfrac{9}{\sqrt{a} + 2}$
Để Q nguyên thì $\sqrt{a} + 2$ là ước dương của 9.
Suy ra:
$\sqrt{a} + 2 \in ${$1; 3; 9$}
$\to \sqrt{a} \in ${$- 1; 1; 7$}
$\to a \in ${1; 49$}
