Đáp án
Ta sẽ chứng minh phương trình trên có 3 nghiệm x∈[−2;2]bằng định lí liên tục.
Đặt f(x)=x^3−3x+1 là hàm liên tục trên[−2;2]
Ta có:
f(−2)=−1;f(−1)=3;f(1)=−1;f(2)=3
Suy ra:
f(−2)f(−1)<0;f(−1)f(1)<0;f(1)f(2)<0
Chứng tỏ phương trình đã cho luôn có ba nghiệm phân biệt thuộc[−2;2]
HOẶC cách2
Đặt f(x)=x3−3x+1, hàm số liên tục trên RR.
Ta có:
{f(−2)=−1
f(−1)=3
⇒f(−2).f(−1)<0⇒{f(−2)=−1f(−1)=3⇒f(−2).f(−1)<0
⇒ Phương trình f(x)=0 có ít nhất 1 nghiệmx1∈(−2;−1)
f(−1)=3
f(0,5)=−3/8
⇒f(−1).f(0,5)<0⇒{f(−1)=3f(0,5)=−3/8
⇒ Phương trình f(x)=0 có ít nhất 1 nghiệmx2∈(−1;0,5)
f(0,5)=−3/8
f(2)=3
⇒f(0,5).f(2)<0
⇒{f(0,5)=−3/8
f(2)=3
⇒ Phương trình f(x)=0 có ít nhất 1 nghiệmx3∈(0,5;2)
Do (−2;−1)∩(−1;0,5)∩(0,5;2)=∅⇒x1;x2;x3 phân biệt.
Vậy phương trình x3−3x+1=0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−2;2).
