Giải thích các bước giải:
Bài 4:
1.Ta có $AM,AN$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\to \widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^o$
$\to AMON$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$
b.Ta có $ AM,AN$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\to AO\perp MN$
Lại có $I$ là trung điểm $BC\to OI\perp BC$
$\to \widehat{AHK}=\widehat{AIO}(=90^o)$
Mà $\widehat{HAK}=\widehat{OAI}$
$\to\Delta AHK\sim\Delta AIO(g.g)$
$\to\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{AK}{AO}$
$\to AH.AO=AK.AI$
3.Ta có $\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=\widehat{AIO}=90^o$
$\to A,M,O,I,N\in$ đường tròn đường kính $AO$
Mặt khác $AM,AN$ là tiếp tuyến của $(O)\to AM=AN$
$\to \widehat{MPN}=\dfrac12\widehat{MON}=\widehat{AON}=\widehat{AIN}$
$\to AI//MP$
$\to MP//BC$
4.Ta có $\widehat{OHK}=\widehat{OIK}=90^o$
$\to OHKI$ nội tiếp
$\to $ đường tròn ngoại tiếp $\Delta OHK$ là đường tròn ngoại tiếp $OHKI$
Ta có $AK.AI=AH.AO=AN^2=AB.AC$
$\to AK=\dfrac{AB.AC}{AI}$ không đổi
$\to K$ cố định
$\to $ đường tròn ngoại tiếp $\Delta OHK$ đi qua $K,I$ cố định
Bài 5:
Ta có:
$x^2-mx+2021=m$
$\to x^2+2021=m+mx$
$\to x^2-1+2022=m(x+1)$
$\to (x-1)(x+1)+2022=m(x+1)$
$\to m=x-1+\dfrac{2022}{x+1}$
Vì $m,x\in Z$
$\to m(x+1)\quad\vdots\quad x+1$
$\to (x-1)(x+1)+2022\quad\vdots\quad x+1$
$\to 2022\quad\vdots\quad x+1$
$\to x+1\in\{1,2,3,337,6,674,1011,2022\}$ vì $x\in N$
$\to x\in\{0,1,2,336,5,673,1010,2021\}$
$\to m\in\{2021,1011, 675,341, 341,675,1011, 2021\}$
Thử lại:
$\to m\in\{2021,1011,675, 341\}$
