Đáp án:
$GTNN$ của $M$ là $32$ tại $x=y=3 , z=0$
Giải thích các bước giải:
$M = 5x² + 3y² + z² - 2xy + 2yz - 6x - 6y + 14$
$M = (y² + 2yz + z²) + 5x² + 2y² - 2xy - 6x - 6y + 14$
$M = (y + z)² + 5x² + 2y² - 2xy - 6x - 6y + 14$
$→(y + z)² = M - 5x² - 2y² + 2xy + 6x + 6y - 14$
Do $3x + y + z \geq 12→y + z \geq 12 - 3x $
Với $12 - 3x \geq 0 → x \leq 4$
$(y - z)² \geq (12 - 3x)²$
$→ M = 5x² + 3y² + z² - 2xy + 2yz - 6x - 6y + 14 \geq 144 - 72x + 9x² $
$→ M \geq 14x² + 2y² - 2xy - 78x - 6y + 158$
$→ M \geq (x² - 2xy + y²) + (13x² - 78x + 117) + (y² - 6y + 9) + 32$
$→ M \geq (x - y)² + 13(x - 3)² + (y - 3)² + 32$
Vì $(x - y)² ≥ 0$
$13(x - 3)² ≥ 0 $
$(y - 3)² ≥ 0$
$⇒ M ≥ 32$
Dấu "=" xảy ra $→\left \{ {{x - y = 0} \atop {x- 3 = 0}} \atop {{y - 3 = 0}} \right. →\left \{ {{x = y} \atop {x =3}} \atop {{y = 3}}\right.→ x =y=3$
Khi đó ta có :
$3x + y + z \geq 12 → 3.3 + 3 + z \geq 12→z\geq 0$
Vậy GTNN của $M$ là $32$ tại $x=y=3 , z=0$
