Đáp án:
Đặt `VT` của ` BĐT ` là `A`
Ta có
`A^2 = x^2 + 1/x^2 + y^2 + 1/y^2 + z^2 + 1/z^2 + 2\sqrt{(x^2 + 1/x^2)(y^2 + 1/y^2)} + 2\sqrt{(y^2 + 1/y^2)(z^2 + 1/z^2)} + 2\sqrt{(z^2 + 1/z^2)(x^2 + 1/x^2)}`
Áp dụng BĐT bu-nhi-a-cop-xki ta có
`2\sqrt{(x^2 + 1/x^2)(y^2 + 1/y^2)} ≥ 2\sqrt{(xy + 1/(xy))^2} = 2(xy + 1/(xy))`
`2\sqrt{(y^2 + 1/y^2)(z^2 + 1/z^2)} ≥ 2\sqrt{(yz + 1/(yz))^2} = 2(yz + 1/(yz))`
`2\sqrt{(z^2 + 1/z^2)(x^2 + 1/x^2)} ≥ 2\sqrt{(zx + 1/(zx))^2} = 2(zx + 1/(zx))`
`-> A^2 ≥ (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx) + (1/x^2+ 1/y^2 + 1/z^2 + 2/(xy) + 2/(yz) + 2/(zx))`
`= (x + y + z)^2 + (1/x + 1/y + 1/z)^2 ≥ (x + y + z)^2 + (9/(x +y + z))^2 = 1^2 + (9/1)^2 = 82`
`-> A^2 ≥ 82`
Do `A > 0 -> A ≥ \sqrt{82} (đpcm)`
Dấu "=" xảy ra `<=> x = y = z = 1/3`
cách khác bn có thể sử dụng BĐT
`\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{x^2+ y^2} ≥ \sqrt{(a + x)^2 + (b + y)^2}`
Giải thích các bước giải:
