$a;b;c$ là độ dài $3$ cạnh của tam giác.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
`a+c>b=>b(a+c)>b^2`
`a+b>c=>c(a+b)>c^2`
`b+c>a=>a(b+c)>a^2`
`=>b(a+c)+c(a+b)+a(b+c)>b^2+c^2+a^2`
`=>ab+bc+ac+bc+ab+ac>a^2+b^2+c^2`
`<=>2(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2` $(1)$
Vì $a;b;c>0$ nên áp dụng BĐT Cosi ta có:
`a^2+b^2\ge 2\sqrt{a^2 b^2}=2ab`
`b^2+c^2\ge 2\sqrt{b^2 c^2}=2bc`
`c^2+a^2\ge 2\sqrt{c^2 a^2}=2ac`
`=>(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)\ge 2ab+2bc+2ca`
`<=>2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac` $(2)$
Từ `(1);(2)=>(ab+bc+ca)\le a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)` (đpcm)
