Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1) a) $AB$ là đk của $(O) ⇒ ∠ACB = 90^{0}$
$ ⇔ ∠ECF = 90^{0} ⇔ EF$à đk của $(O') (đpcm)$
b) $ΔCO'E $ (cân tại $O') ≈ ΔCOA$ (cân tại $O)$
vì cùng có chung góc đáy $C ⇒ $ góc ở đỉnh
bằng nhau$: ∠CO'E = ∠COA ⇒ O'E//OA ⇔ EF//AB$
mà $O'D⊥AB ⇒ O'D∠EF ⇔ ΔDEF$ vuông cân tại $D$
$ ⇒ ∠DOE = ∠DOF = 90^{0} ⇒ ∠DCE = ∠DCF = 45^{0} (đpcm)$
$CD$ cắt $(O)$ tại $K \neq C ⇒ K$ là điểm chính giữa
cung $AB$ ko chứa$C ⇒ K$ cố định
c) $∠KCA = ∠KAD = 45^{0} ⇒ ΔKCA ≈ ΔKAD (g.g)$ (chung góc $K$)
$ ⇒ \dfrac{KC}{KA} = \dfrac{KA}{KD} ⇔ KC.KD = KA² = 2R² (đpcm)$
d)$ ∠KCA = ∠KAD = 45^{0} ⇒ KA$ là tiếp tuyến đường tròn
ngoại tiếp $ΔACD$ và $KA$ cố định
2)
a) Kẻ đường kính $BF$ của $(O) ⇒ CF⊥BC$
$ ⇒ CF//DE ⇒ CD = EF$
$ ⇒ AB² + AC² + AD² + AE² = (AB² + AE²) + (AD² + AC²)$
$ = BE² + CD² = BE² + EF² = BF² = 4R²$ (ko đổi) (đpcm)
b) Vẽ đường kính $AA'$ của $(O; OA) ⇒ AA'$ cố định
Gọi $I$ là trung điểm $BC ⇒ \dfrac{A'H}{AI} = 2 = \dfrac{HG}{IG} $
$ ⇒ A; G; A' $ thẳng hàng và $\dfrac{A'G}{AG} = 2 ⇒ G$ cố định (đpcm)
c) $ ∠IAE = ∠IEA = ∠DCA ⇒ AI⊥CD ⇒ IA//OK $
Tương tự $AK//OI ⇒ AIOK$là hbh
$ ⇒IK$ đi qua trung điểm $P$ của $OA$ cố định (đpcm)
