Lời giải:
a) Do ΔABC cân tại A suy ra $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$ và AB = AC
Do $\widehat{NCE}$ = $\widehat{C}$ ( 2 góc đối đỉnh )
`⇔` $\widehat{NCE}$ = $\widehat{B}$
Xét ΔMDB và ΔNEC có :
$\widehat{MDB}$ `=` $\widehat{NEC}$ `=` $90^\circ$
BD = CE ( gt )
$\widehat{NCE}$ = $\widehat{B}$ ( c/m trên )
`->` ΔMDB = ΔNEC (g.c.g) ; suy ra MD = NE ( 2 cạnh tương ứng )
b)
$\widehat{MID}$ `+` $\widehat{DMI}$ = $90^\circ$ ( 2 góc kề bù )
$\widehat{DMI}$ = $90^\circ$ `-` $\widehat{MID}$
Tương tự
$\widehat{NIE}$ `+` $\widehat{ENI}$ = $90^\circ$ ( 2 góc kề bù )
$\widehat{ENI}$ = $90^\circ$ `-` $\widehat{NIE}$
Lại có $\widehat{NIE}$ = $\widehat{MID}$ ( 2 góc đối đỉnh )
`⇒` $\widehat{DMI}$ = $\widehat{ENI}$
Xét ΔMDI và ΔNEI có :
$\widehat{MDI}$ `=` $\widehat{NEI}$ `=` $90^\circ$
MD = NE ( cm trên )
$\widehat{DMI}$ = $\widehat{ENI}$ ( c/m trên )
`->` ΔMDI = ΔNEI (g.c.g) ; suy ra MI = NI ( 2 cạnh tương ứng )
`⇒` I là trung điểm của MN
c) Do trong tam giác cân,đường trung tuyến thời đồng thời là đường phân giác
Suy ra $\widehat{A1}$ = $\widehat{A2}$
Chứng minh tương tự ta có
ΔAOB = ΔAOC (c.g.c) ; suy ra $\widehat{ABO}$ = $\widehat{ACO}$ ( 2 góc tương ứng )
Do ΔMON có I là trung điểm MN , lại có OI là đường cao
`⇒` ΔMON cân tại O ( tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến )
`=>` OM = ON
Chứng minh tương tự ta có
ΔBMO = ΔCNO (c.g.c) ; suy ra $\widehat{MBO}$ = $\widehat{NCO}$ ( 2 góc tương ứng )
`->` $\widehat{MBO}$ = $\widehat{NCO}$ = $\widehat{ACO}$
Lại có $\widehat{NCO}$ và $\widehat{ACO}$
`->` $\widehat{NCO}$ = $\widehat{ACO}$ = $90^\circ$
`->` OC ⊥ AC
