$\lim\limits_{x\to -\infty}(\sqrt{x^2+4}+x)$
$=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x^2+4-x^2}{\sqrt{x^2+4}-x}$
$=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{4}{\sqrt{x^2+4}-x}$
$=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{4}{-x\sqrt{1+\dfrac{4}{x^2}}-x}$
$=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{ \dfrac{-4}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{4}{x^2}}+1}$
$=0$