`a)` Ta có:
`\hat{BAE}=90°` (vì $AE\perp AB$)
`\hat{MAH}=180°`
`<=>\hat{MAE}+\hat{BAH}+\hat{BAE}=180°`
`=>\hat{MAE}+\hat{BAH}=180°-\hat{BAE}=90°`
$∆ABH$ vuông tại $H$
`=>\hat{BAH}+\hat{HBA}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{MAE}=\hat{HBA}`
+) Xét $∆AME$ và $∆BHA$ có:
`\hat{AME}=\hat{BHA}=90°`
`AE=AB`(gt)
`\hat{MAE}=\hat{HBA}` (c/m trên)
`=>∆AME=∆BHA(ch-gn)`
`=>EM=AH` (hai cạnh tương ứng)
`\qquad AM=BH` (hai cạnh tương ứng)
`=>EM+BH=AH+AM=HM` (đpcm)
$\\$
+) Chứng minh tương tự ta có:
$∆ANF=∆CHA(ch-gn)$
`=>FN=AH` (hai cạnh tương ứng)
`\qquad AN=CH` (hai cạnh tương ứng)
`=>FN+CH=AH+AN=HN` (đpcm)
$\\$
`b)` Xét $∆IEM$ và $∆IFN$ có:
`IM=IN` ($I$ là trung điểm $MN$)
`\hat{IME}=\hat{INF}=90°`
`EM=FN=AH` (đã c/m câu a)
`=>∆IEM=∆IFN(c-g-c)`
`=>\hat{EIM}=\hat{FIN}` (hai góc tương ứng)
Ta có:
`\hat{EIM}+\hat{MIF}=\hat{FIN}+\hat{MIF}=\hat{NIM}=180°`
`=>E;I;F` thẳng hàng (đpcm)
$\\$
`c)` Gọi $P$ là giao điểm của $BO$ và $AC$; $Q$ là giao điểm của $CO$ và $AB$
Áp dụng bất đẳng thức tam giác
+) Xét $∆OAP$ có:
`OA<OP+AP`
`=>OB+OA<OB+OP+AP`
`=>OB+OA<BP+AP`
Xét $∆BCP$ có:
`BP<BC+CP`
`=>BP+AP<BC+CP+AP`
`=>BP+AP<BC+AC`
`=>OB+OA<BC+AC` $(1)$
$\\$
Chứng minh tương tự ta có:
`OC+OA<AH+HC<AB+BC` $(2)$
`OB+OC<CQ+BQ<AB+AC` $(3)$
Từ `(1);(2);(3)=>2(OA+OB+OC)<2(AB+BC+AC)`
`=>OA+OB+OC<AB+BC+AC` $(4)$
+) Áp dụng bất đẳng thức tam giác
Xét $∆OAB$ ta có:
`AB<OA+OB`
Xét $∆OAC$ ta có:
`AC<OA+OC`
Xét $∆OBC$ ta có:
`BC<OB+OC`
`=>AB+BC+AC<2(OA+OB+OC)` $(5)$
Từ `(4);(5)=>OA+OB+OC<AB+BC+AC<2(OA+OB+OC)` (đpcm)
