a)
$NB=NA=\frac{1}{2}AB$ ( $N$ là trung điểm $AB$ )
$MC=MA=\frac{1}{2}AC$ ( $M$ là trung điểm $AC$ )
Mà $AB=AC$ ( $\Delta ABC$ cân tại $A$ )
$\to NB=NA=MC=MA$
Xét $\Delta BNC$ và $\Delta CMB$, ta có:
$BC$ là cạnh chung
$\widehat{NBC}=\widehat{MCB}$ ( Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )
$NB=MC$ ( cmt )
$\to \Delta BNC=\Delta CMB$ ( c.g.c )
b)
Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$, ta có:
$AB=AC$ ( Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )
$\widehat{A}$ là góc chung
$AM=AN$ ( cmt )
$\to \Delta ABM=\Delta ACN$ ( c.g.c )
$\to \widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ ( hai góc tương ứng )
$\to \widehat{NBK}=\widehat{MCK}$
Vì $\Delta BNC=\Delta CMB$ ( cmt )
$\to \widehat{BNC}=\widehat{CMB}$ ( hai góc tương ứng )
$\to \widehat{BNK}=\widehat{CMK}$
Xét $\Delta KNB$ và $\Delta KMC$, ta có:
$\widehat{NBK}=\widehat{MCK}$ ( cmt )
$NB=MC$ ( cmt )
$\widehat{BNK}=\widehat{CMK}$ ( cmt )
$\to \Delta KNB=\Delta KMC$ ( g.c.g )
$\to KB=KC$ ( hai cạnh tương ứng )
$\to \Delta KBC$ cân tại $K$
c)
Trên tia $NM$ lấy điểm $D$ sao cho $MN=MD$
Xét $\Delta MAN$ và $\Delta MCD$, ta có:
$MA=MC$ ( $M$ là trung điểm $AC$ )
$\widehat{AMN}=\widehat{CMD}$ ( hai góc đối đỉnh )
$MN=MD$ ( gt )
$\to \Delta MAN=\Delta MCD$ ( c.g.c )
$\to AN=CD$
$\to NB=CD$
$\Delta MAN=\Delta MCD$
$\to \widehat{ANM}=\widehat{CDM}$
Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong
$\to AN//CD$
$\to NB//CD$
$\to \widehat{BNC}=\widehat{DCN}$
Xét $\Delta NCB$ và $\Delta CND$, ta có:
$NC$ là cạnh chung
$NB=CD$ ( cmt )
$\widehat{BNC}=\widehat{DCN}$
$\to \Delta NCB=\Delta CND$ ( c.g.c )
$\to BC=ND$ ( hai cạnh tương ứng )
Mà $ND=2MN$
Nên $BC=2MN$
Vì $\Delta KNB=\Delta KNC$
$\to KM=KN$
Theo bất đẳng thức trong tam giác $KNM$, ta luôn có
$\,\,\,\,\,KN+KM>MN$
$\to KM+KM>MN$
$\to 2KM>MN$
$\to 4KM>2MN$
$\to 4KM>BC$
$\to BC<4KM$
