Để ${{x}^{2}}-x+13$ là số chính phương thì biểu thức phải có dạng:
${{x}^{2}}-x+13={{A}^{2}}$
$\to 4\left( {{x}^{2}}-x+13 \right)=4{{A}^{2}}$
$\to 4{{x}^{2}}-4x+52=4{{A}^{2}}$
$\to \left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)+51=4{{A}^{2}}$
$\to {{\left( 2A \right)}^{2}}-{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}=51$
$\to \left( 2A-2x+1 \right)\left( 2A+2x-1 \right)=51$
$51=\,1\,\,.\,\,51\,\,=\,\,3\,\,.\,\,17$
$TH_1:\begin{cases}2A-2x+1=1\\2A+2x-1=51\end{cases}\to\,\,\,\,\,\begin{cases}A=13\\x=13\end{cases}$
$TH_2:\begin{cases}2A-2x+1=51\\2A+2x-1=1\end{cases}\to\,\,\,\,\,\begin{cases}A=13\\x=-12\end{cases}$
$TH_3:\begin{cases}2A-2x+1=3\\2A+2x-1=17\end{cases}\to\,\,\,\,\,\begin{cases}A=5\\x=4\end{cases}$
$TH_4:\begin{cases}2A-2x+1=17\\2A+2x-1=3\end{cases}\to\,\,\,\,\,\begin{cases}A=5\\x=-3\end{cases}$
Vì $x\in \mathbb{N}$ nên ta chỉ nhận $T{{H}_{1}}:x=13$ và $T{{H}_{3}}:x=4$
Vậy $x=13$ hoặc $x=4$ là các giá trị cần tìm
