+ Giả sử $p^{2} + 3pq + q^{2} = 5^{n}$, do $p, q ≥ 2$ $⇒ n ≥ 2$.
+ Suy ra: $p^{2} + 3pq + q^{2} \vdots 25$.
$⇔ (p - q)^{2} + 5pq \vdots 25$.
$⇔ (p - q)^{2} + 5pq \vdots 5$.
$⇔ (p - q)^{2} \vdots 5$.
$⇔ p - q \vdots 5$.
+ Hay: $(p - q)^{2} \vdots 25$.
$⇔ 5pq \vdots 25$.
$⇔ pq \vdots 5$.
+ Do: $p, q$ là số nguyên tố, ta suy ra $p$ hoặc $q$ chia hết cho $5$.
+ Giả sử: $p \ vdots 5$ $⇒ p = 5$.
+ Lại có: $p - q \vdots 5$ $⇒$ số còn lại cũng chia hết cho $5$.
+ Hay: $p = q = 5$.
+ Khi đó: $n = 3$.
XIN HAY NHẤT.
CHÚC EM HỌC TỐT.
