Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có
$\frac{2a^{2} + 3b^{2}}{2a^{3} + 3b^{3}}+\frac{2b^{2} + 3a^{2}}{2b^{3} + 3a^{3}} \le \frac{4}{a+b}$
$\Leftrightarrow \frac{(2a^2 + 3b^2)(a+b)}{2a^3 + 3b^3}+\frac{(2b^2 + 3a^2)(a+b)}{2b^{3} + 3a^{3}} \le 4$
$\Leftrightarrow \frac{2a^3+3b^3+2a^2b+3b^2a}{2a^3 + 3b^3}+\frac{(2b^3 + 3a^3+2ab^2+3a^2b}{2b^{3} + 3a^{3}}$
$\Leftrightarrow 1+1+\frac{2a^2b+3b^2a}{2a^3+3b^3}+\frac{2ab^2+3a^2b}{2b^3+3a^3} \le 4$
$\Leftrightarrow \frac{2(\frac{a}{b})^2+3\frac{a}{b}}{2(\frac{a}{b})^3+3}+\frac{2(\frac{a}{b})+3(\frac{a}{b})^2}{2+3(\frac{a}{b})^3} \le 2$
Đặt $\frac{a}{b}=x>0 \Rightarrow \frac{2x^2+3x}{2x^3+3}+\frac{2x+3x^2}{2+3x^3} \le 2$
$(x-1)^2(12x^4+12x^3+12x^2+12x+12-13x^2) \ge 0$(1)
Bây giờ ta đi chứng minh
$12x^4+12x^3+12x^2+12x+12-13x^2 >0 \forall x>0$
$12x^4+12x^3+12x^2+12x+12-13x^2=12x^4+12x(x-1)^2+23x+12 >0 \forall x>0$
Vậy (1) đúng. Vậy BĐT được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi$x=1 \Leftrightarrow a=b$
