Giải thích các bước giải:
Thêm điều kiện $(a,p)=1$
Xét dãy số $a,2a,3a, 4a, ..., (p-1)a$
Trường hợp $1:$ Tồn tại $2$ số có cùng số dư khi chia cho $p$ là $ma$ và $na, (0<m<n<p, m,n\in N)$
$\to ma-na\quad\vdots\quad p$
$\to a(m-n)\quad\vdots\quad p$
Mà $0<m-n<p$
$\to m-n\quad\not\vdots\quad p$
$\to a\quad\vdots\quad p$ loại vì $(a,p)=1$
Trường hợp $2:$ Không tồn tại $2$ số có cùng số dư khi chia cho $p$
$\to a,2a,3a,...,(p-1)a$ chia $p$ có số dư là : $1,2,3,.., p-1$
$\to a.2a.3a....(p-1)a\equiv 1.2.3...(p-1)(mod p)$
$\to (p-1)!\cdot a^{p-1}\equiv (p-1)!(mod p)$
$\to a^{p-1}\equiv 1(mod p)$
$\to a^{p-1}\cdot a\equiv a(mod p)$
$\to a^{p}\equiv a(mod p)$
$\to đpcm$
