`a)` Xét $∆OAI$ có:
`\qquad OA<IA+IO` (bất đẳng thức tam giác)
`=>OA+OB<IA+IO+OB`
`=>OA+OB<IA+IB`
$\\$
`b)` Xét $∆IBC$ có:
`\qquad IB<IC+CB`
`=>IA+IB<IA+IC+CB`
`=>IA+IB<CA+CB`
Vì `OA+OB<IA+IB` (câu a)
`=>OA+OB<CA+CB` $\quad (1)$
$\\$
`c)` Xét $∆OIC$ có:
`\qquad OC<IO+IC` (bất đẳng thức tam giác)
`=>OB+OC<OB+IO+IC`
`=>OB+OC<IB+IC`
$\\$
Xét $∆IAB$ có:
`\qquad IB<IA+AB`
`=>IC+IB<IC+IA+AB`
`=>IB+IC<CA+AB`
$\\$
`=>OB+OC<CA+AB` $\quad (2)$
$\\$
Gọi $M$ là giao điểm của $AO$ và $BC$ $(M\in BC)$
Xét $∆OCM$ có:
`\qquad OC<MO+MC` (bất đẳng thức tam giác)
`=>OA+OC<OA+MO+MC`
`=>OA+OC<MA+MC`
$\\$
Xét $∆MAB$ có:
`\qquad MA<AB+MB`
`=>MA+MC<AB+MB+MC`
`=>MA+MC<AB+CB`
$\\$
`=>OA+OC<AB+CB` $\quad (3)$
$\\$
Từ `(1);(2);(3)` ta có:
`\qquad OA+OB+OB+OC+OA+OC<CA+CB+CA+AB+AB+CB`
`=>2(OA+OB+OC)<2(AB+CB+CA)`
`=>OA+OB+OC<AB+BC+CA`
