Giải thích các bước giải:
a.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AE\perp BE, BF\perp AF$
$\to AE\perp BG, BF\perp AG$
Mà $AE\cap BF=I\to I$ là trực tâm $\Delta ABG\to IG\perp AB$
Mà $AB\perp AC\to IG//AC$
b.Xét $\Delta GEA,\Delta GFB$ có:
Chung $\hat G$
$\widehat{GEA}=\widehat{GFB}=90^o$
$\to\Delta GEA\sim\Delta GFB(g.g)$
$\to \dfrac{GE}{GF}=\dfrac{GA}{GB}$
$\to GE.GB=GF.GA$
c.Ta có:
$\widehat{IFG}=\widehat{IEG}=90^o\to IEGF$ nội tiếp đường tròn đường kính $IG$
$\to \widehat{IFE}=\widehat{IGE}$
d.Ta có $O,D$ là trung điểm $AB,AC\to OD$ là đường trung bình $\Delta ABC\to OD//BC$
Mà $AE\perp CB\to OD\perp AE$
$\to OD$ là trung trực của $AE$
$\to\widehat{DEO}=\widehat{DAO}=90^o$
$\to DE$ là tiếp tuyến của $(O)$
e.Ta có $B,I,D$ thẳng hàng và $B\in CE, I\in AE, D\in AC$
$\to \dfrac{BC}{BE}.\dfrac{IE}{IA}.\dfrac{DA}{DC}=1$(định lý Menelauyts)
$\to \dfrac{BE}{BC}=\dfrac{IE}{IA}$ vì $DA=DC$
Lại có $IG//AC\to \dfrac{GE}{GC}=\dfrac{IE}{IA}$
$\to \dfrac{BE}{BC}=\dfrac{GE}{GC}$
f.Ta có $A,H,G$ thẳng hàng, $A\in DC, H\in DE, G\in CE$
$\to \dfrac{AC}{AD}.\dfrac{HD}{HE}.\dfrac{GE}{GC}=1$(định lý Menelauyts)
$\to 2.1.\dfrac{GE}{GC}=1$ vì $H,D$ là trung điểm $DE, AC$
$\to \dfrac{GE}{GC}=\dfrac12$
$\to \dfrac{BE}{BC}=\dfrac12$
$\to BE=\dfrac12BC$
Mà $AE\perp BC$
$\to BA^2=BE.BC=\dfrac12BC^2$
$\to AB=\dfrac{BC}{\sqrt{2}}$
$\to \Delta ABC$ vuông cân tại $A$
