Giải thích các bước giải:
a.Cách 1:
Ta có $E,F\in$ đường tròn đường kính $AH$
$\to HE\perp AB ,HF\perp AC$
Mà $AH\perp BC$
$\to AE.AB=AH^2=AF.AC$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Cách 2:
Ta có $HE\perp AB, HF\perp AC, AB\perp AC\to AEHF$ là hình chữ nhật
Xét $\Delta AEF,\Delta ACB$ có:
Chung $\hat A$
$\widehat{AEF}=\widehat{AHF}=90^o-\widehat{HAF}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{ACB}$
$\to \Delta AEF\sim\Delta ACB(g.g)$
$\to \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}$
$\to AE.AB=AF.AC$
b.Gọi $AM\cap EF=D$
Ta có $AM\perp EF\to AD\perp FD$
$\to \widehat{MAC}=\widehat{DAF}=90^o-\widehat{AFD}=90^o-\widehat{AFE}=90^o-\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{ACM}$
Vì $\Delta AEF\sim\Delta ACB\to \widehat{AFE}=\widehat{ABC}$
$\to \Delta MAC$ cân tại$M\to AM=MC$
Mặt khác $\widehat{MBA}=90^o-\widehat[MCA}=90^o-\widehat{MAC}=\widehat{MAB}$
$\to\Delta MAB$ cân tại $M\to MB=MA$
$\to MB=MC(=MA)$
$\to M$ là trung điểm $BC$
c.Sửa đề Gọi $I$ là trung điểm $BH$ chứng minh $IE$ là tiếp tuyến của $(O)$
Ta có $\Delta BEH$ vuông tại $E , I$ là trung điểm $BH$
$\to IE=IB=IH$
$\to IE=IH$
Mà $OE=OH$
$\to \Delta OEI=\Delta OHI(c.c.c)$
$\to \widehat{OEI}=\widehat{OHI}=90^o$
$\to IE$ là tiếp tuyến của $(O)$
