Vì $\Delta ACDB$ nội tiếp có 2 đường chéo cắt nhau tại $I$
Nên dễ dàng chứng minh được:
$\Delta IAC\sim\Delta IBD$
$\to \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{AC}{BD}$
Mà: $\begin{cases}AC=MA\\BD=MB\end{cases}$
Nên $\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{MA}{MB}$
$\Delta IAB$ có tỉ số: $\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{MA}{MB}$
Nên $IM$ là tia phân giác $\widehat{AIB}$
b)
từ câu a:
$IM$ là tia phân giác $\widehat{AIB}$
Mà:
$IM\bot IK$
$\widehat{AIB}$ và $\widehat{DIB}$ là hai góc kề bù
Nên $IK$ là phân giác $\widehat{DIB}$
Nếu như $A,I,K,B$ cùng thuộc một đường tròn
Tức là $AIKB$ là tứ giác nội tiếp
$\to\begin{cases}\widehat{KIB}=\widehat{KAB}\,\,\,\left(\text{ cùng chắn cung AB }\right)\\\\\widehat{KID}=\widehat{KBA}\,\,\,\left(\text{ góc ngoài bằng góc đối trong }\right)\end{cases}$
Mà $\widehat{KAB}=\widehat{KBA}$ ( vì $OK$ là đường trung trực của $AB$ )
Nên $\widehat{KIB}=\widehat{KID}$
Do đó $IK$ là tia phân giác $\widehat{DIB}$
Mà điều này đúng ( bởi vì mới chứng minh ở trên )
Vậy $A,I,K,B$ cùng thuộc một đường tròn
