a)
Xét $\Delta AKC$ và $\Delta PKB$, ta có:
$AK=PK$ ( gt )
$\widehat{AKC}=\widehat{PKB}$ ( hai góc đối đỉnh )
$KC=KB$ ( $K$ là trung điểm $BC$ )
$\to \Delta AKC=\Delta PKB\,\,\left( \,c\,.\,g\,.\,c\, \right)$
$\to \widehat{ACK}=\widehat{PBK}$
Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong
Nên $AC\,\,||\,\,BP$
b)
vì $AC\,\,||\,\,BP$ ( cmt )
$\to \widehat{PBA}+\widehat{BAC}=180{}^\circ $ ( hai góc trong cùng phía )
Mà $\widehat{MAN}+\widehat{BAC}=180{}^\circ $
Nên $\widehat{PBA}=\widehat{MAN}$
Vì $\Delta AKC=\Delta PKB$ ( cmt )
$\to AC=BP$
Mà $AC=AM$ ( gt )
Nên $AM=BP$
Xét $\Delta AMN$ và $\Delta BPA$, ta có:
$AM=BP$ ( cmt )
$\widehat{MAN}=\widehat{PBA}$ ( cmt )
$AN=AB$ ( gt )
$\to \Delta AMN=\Delta BPA$
c)
Vì $\Delta AMN=\Delta BPA$ ( cmt )
$\to \widehat{ANM}=\widehat{BAP}$ ( hai góc tương ứng )
Mà $\widehat{BAP}+\widehat{NAH}=90{}^\circ $
Nên $\widehat{ANM}+\widehat{NAH}=90{}^\circ $
$\to \Delta ANH$ vuông tại $H$
$\to AH\bot HN$
$\to AK\bot MN$